Mathématiques

Courbe sous contrainte :

On cherche une courbe C qui passe par les points A (0.0) B(3.-3) et qui admet pour tangentes en A et B les droites (AC) et (BD) où C(-1.-5) et D(5.1)

Soit f une fonction dérivable sur R dont C serait la courbe représentative. Est il possible de trouver f(x) sous la forme f(x)=ax3+ bx²+ cx + d où a, b, c et d sont des réels ?

Solution :

Courbe sous contrainte

1)    Commençons par les tangentes AC et BD

1.1)       La tangente AC a pour équation : y=5x (pente =5)

1.2)       La droite BD, d’équation y=k1x+k2 passe par les points B(3,-3) et D(5,1) d’où les 2 équations :

-3=3k1+k2

1=5k1+k2

Par soustraction : 4= 2k1 d’où k1=2

D’où                                      k2= -9

La tangente BD a donc pour équation : y=2x-9

2)   A et B appartiennent aussi à C  courbe de f(x) donc :

  1. a.    Pour A (0.0) :f(0)=ax³+bx²+cx+d=0

donc d=0 en remplaçant x par 0

  1. Pour B(3.-3) : f(3)=ax³+bx²+cx=27a+9b+3c=-3

donc 9a+3b+c = -1

3)    f(x)=ax3+ bx²+ cx + d

Dérivée de f(x) : f'(x)=3ax²+2bx+c

  1. pour x=0 : f'(0)=c

Equation de la tangente en A : y=5x

y’=5

donc c=5

  1. pour x=3 f'(3)=27a+6b+c

Equation de la tangente en B : y=2x-9
y’=2

Donc 27a+6b+c=2

Or c=5 d’où : 27a+6b=-3  soit : 9a+2b=-1

 

4)   9a+3b+c= -1 et c=5 donnent : 9a+3b=-6 soit : 3a+b=-2

 

5)   A partir des 2 équations : 9a+2b=-1 et 3a+b=-2 on trouve :

a=1 et b=-5

6)    Finalement :

f(x)= x³ – 5x² + 5x = x(x²-5x+5) 
les zéros sont 0 ; (5-Racine carrée de 
5)/2 ; (5+Racine carrée de 5)/2

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